Funciones exponenciales

Esta propuesta fue diseñada por la profesora Alejandra Acosta de Godoy (alejanacosta@ciudad.com.ar), de La Banda, provincia de Santiago del Estero.

Fundamentación

Las funciones exponenciales constituyen una herramienta útil para describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rápida proporcionalmente a su tamaño. Se encuentran innumerables ejemplos de fenómenos que tienen este tipo de comportamiento en física, biología, economía, medicina y otras.

Se hará por medio de simuladores digitales como una estrategia que permitirá promover en los alumnos el desarrollo de modelos mentales sobre situaciones complejas y también realizar un uso activo de estrategias de resolución de problemas.

Destinatarios

Alumnos y profesores del 2º año del Polimodal.

Objetivos

Conocer los elementos de la función exponencial.
Analizar las características de la función exponencial.
Usar simuladores digitales.

Actividades

Función exponencial 1: presentación

Supongamos que un coche que hoy cuesta $10 mil se deprecia de tal forma que cada año que pasa, el valor es el 95% de su valor anterior.

Te pedimos que respondas a las siguientes preguntas:
a) ¿Cuál será el valor del auto luego de dos años? ¿Luego de 3 años?
b) ¿Cuál será el valor del auto luego de 14 meses?

Podrás observar rápidamente que para obtener el valor del automóvil luego de 10 años deberíamos conocer el valor del año anterior (9), y para éste necesitamos el valor luego de 8 años, etc. Las cuentas se complican.

¿Podremos hallar una fórmula que nos permita obtener directamente el valor luego de x años, sin necesidad de realizar tantas cuentas?

Tratá de investigar esta cuestión antes de seguir leyendo.
Veamos cómo calculamos algunos valores.
En x = 0 tenemos que el valor f(x) = 10 X = 1 f(x) = 10(0,95) = 9,5
X = 2 f(x) = 10(0,95).(0,95) = 9,025
Observamos que el valor f(2) pudo expresarse del valor inicial (10), la proporción en que se deprecia (0,95) y el tiempo que transcurrió en (2).
¿Cómo expresarías el valor f(3)?

En general el valor del automóvil luego de x años es: F(x) = 10(0,95)^x
Ahora sí, para calcular el valor del bien luego de 10 años, basta hacer
F(x) = 10(0,95)^x = 5,987
En la fórmula que hemos descubierto f(x) = 10(0,95)^x el factor 10 es el valor inicial del automóvil, la base de la potencia es la proporción en que se deprecia el bien y la variable x (tiempo) figura en el exponente de esta potencia. A este tipo de funciones se las llama función exponencial.
Aquí se les pide a los alumnos que observen la simulación presentada por el profesor, y que luego realicen las siguientes actividades:

a) Encontrá una fórmula que dé el valor del mismo pero con el tiempo expresado en meses.
¿Cuánto dinero se ha perdido luego de x meses?
b) ¿Qué creés que se modificaría en el gráfico si el valor inicial del automóvil fuera 20?
c) ¿Es verdadera la siguiente afirmación?
A medida que el tiempo pasa, el valor del bien decrece con menor rapidez.
Justificá esta afirmación.
Fórmula de función exponencial

Una función exponencial se expresa de la forma f(x) = k.a^x; se observa que todo número real tiene imagen, por lo tanto el dominio natural de una función exponencial es el conjunto de los N° R.

Las funciones exponenciales son continuas en todo su dominio natural.
Para que la variable x pueda reemplazarse por cualquier N° R debemos tener presentes algunas cuestiones.

* Por ejemplo, a no puede ser un N° negativo; ¿por qué? Tampoco nos interesa el caso en que a = 1, ya que tendríamos la función constante f(x) = k; tampoco el caso en que k = 0; ¿por qué? Veamos cómo varía dicha función en el siguiente simulador.

Función exponencial 2.

Análisis de las curvas

1. Análisis de los gráficos de las funciones de la forma: f(x) = k.a^x y f(x) = k.(1/a)^x
Se solicita a los alumnos que observen cómo varían las funciones en el simulador, y luego resuelvan:

Mencionaremos primero las características comunes:
* Cortan al eje de las ordenadas en el punto (_____,_____)
* No cortan el eje de las abscisas y el conjunto imagen es __________________
* Tiene una asíntota _______________, que es el eje ________________________
Mencionemos las diferencias:
* Si a es mayor que 1, la función es __________________________
* Si a es menor que 1, la función es ____________________________
Conclusión:
Las curvas que corresponden a funciones de bases recíprocas son simétricas con respecto al eje. _______________________________________________________________
2. Análisis de los gráficos de las funciones de la forma f(x) = k.a^x, y f(x) = -k.a^x

Una vez realizadas estas actividades, los alumnos deberán observar una serie de gráficos en el simulador y responder:

	F(x) = k.a^x	F(x) = -k.a^x
Conjunto imagen
Ordenada al origen
¿Crece o decrece?
Asíntota horizontal

Conclusión: las curvas correspondientes a las funciones exponenciales que tienen igual base y coeficientes opuestos son simétricas con respecto al eje.

Aplicaciones de la función exponencial

La aparición de las funciones exponenciales surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y el decrecimiento de poblaciones humanas, con colonias de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina, la química y otras disciplinas.

Veamos un ejemplo:
Crecimiento de población
Cuando se analizan los censos de población humana y se buscan modelos que permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial.

Ejemplo: según estimaciones recientes de las Naciones Unidas, la población de la ciudad de Bombay (India) evolucionó en las últimas décadas del siguiente modo:

Año	1950	1960	1970	1980	1990
Población (en millones de habitantes)	2,9	4,1	5,8	8,1	11,2

Los porcentajes de aumento correspondientes a cada período fueron aproximadamente:

1950-1960: ---- 1960-1970: ----- 1970-1980: ------1980-1990: -----
La similitud entre estos porcentajes nos indica que podemos encontrar una función exponencial P(x) = k*a^x que describa aproximadamente el crecimiento.

Si tomamos como valor inicial la población de 1950, entonces k = ____________
Si consideramos como porcentaje de incremento por década el 40%, entonces a = 1+0,40 = ________________________
Si llamamos P(x) a la población x décadas a partir de 1950, la función es P(x) = __________________________________________________________
Según este modelo, la proyección para el año 2020 es de ______________________________________________________________
Los alumnos observarán una gráfica determinada en el simulador, y luego realizarán las siguientes actividades:

a) ¿Quién determina (k o a) que la función sea creciente o decreciente?
b) ¿Por qué se toma la base a positiva y distinta de 1?
c) ¿Puede la imagen de una función exponencial valer cero? Justificá tu respuesta.
d) ¿Puede la imagen de una función exponencial ser negativa? Justificá tu respuesta.
e) En una función exponencial, ¿cuál es la imagen de x = 0?
f) Hallar una expresión que describa el crecimiento exponencial de una colonia de 2000 bacterias que se quintuplican cada tres horas.
g) Con el objetivo de combatir una enfermedad, un médico ha indicado a su paciente una medicación que deberá ser inyectada durante 15 días de la siguiente forma: primer día se aplica la dosis máxima de 100 ml, cada día siguiente se aplica 4/5 de la dosis correspondiente al día anterior.

- ¿Cuál es la dosis indicada para el día 10?
- ¿Cuánto medicamento (en ml) se le ha inyectado al paciente a los 15 días?
- Da una función que describa la cantidad de medicamento inyectado luego de x días y graficala aproximadamente.

h) Dadas las funciones:
f(x) = 34*(1,8)^x g(x) = 500*(0,95)^x
* Indicar si son creciente o decrecientes
* Calcular el valor de cada función en x = 0

Áreas involucradas

Matemática, Informática.

Recursos materiales bibliográficos y tecnológicos

Libros: Santillana Polimodal, Estrada, Kapelusz Polimodal. CD, programa Java, computadoras, material educativo multimedia, etc.

Recursos humanos

Profesores de Informática, profesores de Matemática y alumnos del segundo año del Polimodal.

Cronograma y explicitación del tiempo previsto para su desarrollo

Mes de agosto

Actividades	1a semana	2a semana	3a semana	4a semana
Función exp. 1	Presentación. Partes de la función.	Análisis y gráfica de la función.
Función exp. 2			Análisis de la función. Variación de a y k.	Ejes de simetría. Aplicación de la función exponencial.

Apreciaciones finales

Los simuladores son dispositivos que permiten reproducir fenómenos semejantes a los que ocurren en situaciones reales, favorecen el pensamiento complejo y reflexivo y logran además una mayor motivación de los alumnos por tratarse de recursos que forman parte de las nuevas formas culturales. Una de las ventajas de la simulación se basa en descubrir, comprender, reflexionar sobre sus propios conocimientos ante una situación problemática dada. Descubrir algo antes que el docente lo haya enseñado específicamente puede provocar en los estudiantes sensaciones de capacidad, confianza en sí mismos y, sobre todo, interés por adquirir los nuevos conocimientos que les permitan corroborar lo descubierto y explicar teóricamente sus causas.