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Matemática: ¿Qué es la matemática?

Jean Pierre Bourguignon, en una conferencia titulada “Los desafíos de la matemática en la sociedad actual”, reflexiona sobre esta pregunta. También Chevallard, Bosch y Gascón (1) se la plantean y desarrollan ejemplos que permiten comprender sus posturas.

Un aspecto esencial de la actividad matemática consiste en construir un modelo matemático de la realidad que se quiere estudiar, trabajar con dicho modelo e interpretar los resultados obtenidos en ese trabajo para contestar a las cuestiones planteadas inicialmente. Gran parte de la actividad matemática puede identificarse con una actividad de modelización matemática.

Veamos un ejemplo simple, en un contexto intra-matemático que permite entender, en parte, la construcción de modelos en matemática. Todos conocen el algoritmo de la división, es decir, una serie de pasos que permiten encontrar el resultado de dividir un número por otro. Y también se conocen ciertas propiedades que cumple esta operación. Se puede pensar en este problema:

“Inventar una división cuyo resto sea 200 y que se pueda calcular mentalmente”. (Un ejemplo de división que puede ser realizada mentalmente es 200:50 = 4)

Para responder a la consigna dada, se podría pensar en 500/3, da 100 y sobran 200, dado que 100 x 3 es 300 más los 200 de resto da los 500. ¿Está bien? No, porque el resto de una división no puede ser mayor que el divisor, por lo tanto se tendrá que buscar un divisor más grande que 200, por ejemplo 300. ¿Qué número se podría dividir por 300 para que quede como resto 200? Por ejemplo, 500/300 da 1 y sobran 200, que ya no se puede seguir dividiendo.

Esta es una respuesta a la tarea demandada, pero ¿es posible encontrar varias respuestas? ¿Si se siguiera trabajando con 300 como divisor? ¿Habrá otra división cuyo divisor sea 300 y que tenga resto 200? Sí, es suficiente tomar cualquier número como cociente (por ejemplo 3) y calcular el dividendo: 300 x 3 más el resto (200) será el dividendo, o sea 1100. De esta manera se podrán encontrar varias divisiones, con números fáciles de calcular mentalmente y que cumplan la condición de producir un resto igual a 200. Por lo tanto, se ha armado un modelo de la situación.

La expresión D = 300 x d + 200 permite generar muchas soluciones, asignando a n valores naturales. Y en general D= dxq + r, 0<=r<d. provee un modelo matemático de la división entera.

¿Para qué podría servir un problema como este? Para determinar para qué puede servir es importante pensar cuáles conocimientos tienen que poner en juego los alumnos para resolverlo. Una primera constatación es que el resto tiene que ser efectivamente menor que el divisor. No es solamente una definición aprendida de memoria sino que hay que usarla efectivamente para resolver el problema planteado.

Por otra parte, este problema pone en juego las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto y les hace jugar un verdadero papel de herramientas para resolver problemas y no solamente para realizar la prueba de la división.

Una enseñanza planteada de esta manera nos acerca a una matemática con sentido, donde el alumno se puede involucrar en la búsqueda de respuestas, donde lo que hace o aprende tiene una significación aportada por las situaciones que los nuevos conocimientos le permiten resolver.

En este ejemplo, se ve cómo el dominio del algoritmo puede ser trabajado de una manera conceptualmente diferente a la habitual para resolver una gran cantidad de divisiones del mismo tipo.

Entonces, si se retoma la pregunta: ¿a partir de qué momento se puede decir que alguien hace matemática en el sentido de que trabaja con modelos matemáticos? No es posible trazar una frontera clara y precisa que separe de una vez por todas las actividades matemáticas de los no-matemáticas, por eso se retoma la clasificación de actividades matemáticas que elaboran Chevallard, Bosch y Gastón.

1) Chevallard, Bosch y Gascón (1994), op. cit.

 

 
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